1) Каково наименьшее целое положительное число X, при котором ложно высказывание: (82 < X·X) → (81...

Чтобы решить задачу, начнем с анализа логического выражения:

[ (82 < X \cdot X) \to (81 > (X - 1) \cdot (X - 1)) ]

Это высказывание имеет форму "A → B", где:

• ( A : 82 < X \cdot X )
• ( B : 81 > (X - 1) \cdot (X - 1) )

Выражение ( A \to B ) ложно только в том случае, если ( A ) истинно, а ( B ) ложно. Поэтому нам нужно выяснить, при каких значениях ( X ) выполняются оба условия:

1. ( A ) истинно: ( 82 < X \cdot X )
2. ( B ) ложно: ( 81 \leq (X - 1) \cdot (X - 1) )

Шаг 1: Решение неравенства ( A: 82 < X \cdot X )

Решим неравенство:

[ X^2 > 82 ]

Это означает, что:

[ X > \sqrt{82} \approx 9.055 ]

Поскольку ( X ) должно быть целым положительным числом, наименьшее значение ( X ), для которого это неравенство выполняется, равно 10.

Шаг 2: Решение неравенства ( B: 81 \leq (X - 1) \cdot (X - 1) )

Решим неравенство:

[ (X - 1)^2 \geq 81 ]

Это неравенство можно переписать как:

[ |X - 1| \geq 9 ]

Таким образом, у нас есть два случая:

1. ( X - 1 \geq 9 ) ( \Rightarrow X \geq 10 )
2. ( X - 1 \leq -9 ) ( \Rightarrow X \leq -8 ) (но это не подходит, так как ( X ) должно быть положительным)

Следовательно, из первого случая мы имеем:

[ X \geq 10 ]

Шаг 3: Подбор значений ( X )

Теперь нам нужно найти наименьшее целое положительное число ( X ), при котором ( A ) истинно и ( B ) ложно.

Мы уже нашли, что ( X ) должно быть не меньше 10 для выполнения условия ( A ). Проверим ( X = 10 ):

• ( A: 82 < 10 \cdot 10 ) ( \Rightarrow 82 < 100 ) ( \text{(истинно)} )
• ( B: 81 \leq (10 - 1) \cdot (10 - 1) ) ( \Rightarrow 81 \leq 9 \cdot 9 ) ( \Rightarrow 81 \leq 81 ) ( \text{(ложно)} )

Поскольку ( A ) истинно, а ( B ) ложно, то высказывание ( (82 < X \cdot X) \to (81 > (X - 1) \cdot (X - 1)) ) ложно при ( X = 10 ).

Ответ:

Наименьшее целое положительное число ( X ), при котором высказывание ложно, равно ( 10 ).

Давайте разберем данное логическое высказывание и найдем наименьшее целое положительное число ( X ), при котором оно становится ложным.

Высказывание:

[ (82 < X \cdot X) \rightarrow (81 > (X-1) \cdot (X-1)) ]

Это импликация, то есть условие вида ( A \rightarrow B ). Напомним, что импликация ложна только в одном случае: если первое условие (( A )) истинно, а второе (( B )) ложно. Во всех остальных случаях импликация истинна.

Обозначим:

• ( A: 82 < X \cdot X ) (первое условие),
• ( B: 81 > (X-1) \cdot (X-1) ) (второе условие).

Таким образом, импликация ( A \rightarrow B ) будет ложна, если:

1. ( A ) истинно (( 82 < X \cdot X )),
2. ( B ) ложно (( 81 \leq (X-1) \cdot (X-1) )).

Теперь решим задачу шаг за шагом.

Шаг 1: Исследуем условие ( A: 82 < X \cdot X )

Условие ( 82 < X \cdot X ) означает, что квадрат числа ( X ) должен быть строго больше 82: [ X \cdot X > 82 ] [ X > \sqrt{82} ]

Приблизительно (\sqrt{82} \approx 9.06). Так как ( X ) — целое положительное число, то минимальное ( X ), удовлетворяющее этому условию, равно: [ X = 10 ]

Итак, для ( X \geq 10 ) условие ( A ) будет истинно.

Шаг 2: Исследуем условие ( B: 81 > (X-1) \cdot (X-1) )

Условие ( 81 > (X-1) \cdot (X-1) ) означает, что квадрат числа ( X-1 ) должен быть строго меньше 81: [ (X-1) \cdot (X-1) < 81 ] [ X-1 < \sqrt{81} ] [ X-1 < 9 ]

Отсюда получаем: [ X < 10 ]

То есть условие ( B ) выполняется, если ( X < 10 ).

Шаг 3: Когда импликация ложна?

Импликация ( A \rightarrow B ) ложна, если:

1. ( A ) истинно (( 82 < X \cdot X ), то есть ( X \geq 10 )),
2. ( B ) ложно (( 81 \leq (X-1) \cdot (X-1) ), то есть ( X \geq 10 )).

Из шагов 1 и 2 видно, что ( B ) становится ложным при ( X \geq 10 ). Проверим наименьшее ( X ), начиная с ( X = 10 ).

Шаг 4: Проверка для ( X = 10 )

1. Проверим ( A: 82 < X \cdot X ): [ 82 < 10 \cdot 10 \quad \text{(истинно, так как ( 82 < 100 ))}. ]

2. Проверим ( B: 81 > (X-1) \cdot (X-1) ): [ 81 > (10-1) \cdot (10-1) \quad \leftrightarrow \quad 81 > 9 \cdot 9 \quad \leftrightarrow \quad 81 > 81 \quad \text{(ложно)}. ]

Поскольку ( A ) истинно, а ( B ) ложно, импликация ( A \rightarrow B ) становится ложной для ( X = 10 ).

Ответ:

Наименьшее целое положительное число ( X ), при котором высказывание ложно, равно: [ \boxed{10} ]