Для того чтобы вырезать из круглого бревна балку с прямоугольным сечением наибольшей площади, нам нужно определить размеры этого прямоугольного сечения так, чтобы его площадь была максимальной. Предположим, что радиус сечения бревна равен единиц.
Шаг 1: Определение условий задачи
Бревно имеет форму круга с радиусом . Прямоугольник, который будет вырезан из этого круга, вписан в него, что означает, что его диагональ равна диаметру круга. Диаметр круга равен единиц.
Шаг 2: Максимизация площади прямоугольника
Пусть стороны прямоугольника равны и . Поскольку диагональ прямоугольника является гипотенузой прямоугольного треугольника, где и — катеты, то по теореме Пифагора:
Шаг 3: Выразим одну из сторон через другую
Для максимизации площади прямоугольника , можно воспользоваться тем, что и должны быть равны .
Пусть . Тогда:
Шаг 4: Проверка
Так как , то прямоугольник имеет стороны . Подставим это значение в исходное уравнение:
Всё верно.
Вывод
Таким образом, размеры сечения балки, вырезанной из круглого бревна с радиусом 20 единиц, которые дают наибольшую площадь, составляют единиц на единиц.