3.из круглого бревна вырезают балку с прямоугольным сечением наибольшей площадки. найти размеры сечения...

Для нахождения размеров сечения балки с наибольшей площадью мы можем использовать метод дифференциального исчисления.

Пусть длина балки равна L, ширина сечения - x, а высота сечения - y. Так как сечение балки имеет прямоугольную форму, площадь сечения будет равна S = x*y.

Также, известно, что радиус бревна равен 20, значит диаметр бревна равен 40, а длина балки - это окружность диаметром 40, то есть L = 40π.

Теперь составим уравнение для площади сечения балки: S = x*y

Учитывая, что периметр прямоугольника равен длине окружности бревна: 2x + 2y = 40

Также у нас есть ограничение на длину балки: L = 40π

Теперь можно выразить одну переменную через другую и подставить в уравнение для площади, а затем найти максимум этой функции с помощью производной. Полученные значения x и y будут размерами сечения балки с наибольшей площадью.

Для того чтобы вырезать из круглого бревна балку с прямоугольным сечением наибольшей площади, нам нужно определить размеры этого прямоугольного сечения так, чтобы его площадь была максимальной. Предположим, что радиус сечения бревна равен ( R = 20 ) единиц.

Шаг 1: Определение условий задачи

Бревно имеет форму круга с радиусом ( R ). Прямоугольник, который будет вырезан из этого круга, вписан в него, что означает, что его диагональ равна диаметру круга. Диаметр круга равен ( 2R = 40 ) единиц.

Шаг 2: Максимизация площади прямоугольника

Пусть стороны прямоугольника равны ( a ) и ( b ). Поскольку диагональ прямоугольника является гипотенузой прямоугольного треугольника, где ( a ) и ( b ) — катеты, то по теореме Пифагора:

[ a^2 + b^2 = (2R)^2 ] [ a^2 + b^2 = 40^2 ] [ a^2 + b^2 = 1600 ]

Шаг 3: Выразим одну из сторон через другую

Для максимизации площади прямоугольника ( S = a \times b ), можно воспользоваться тем, что ( a ) и ( b ) должны быть равны (так как это даст максимальную площадь для фиксированной диагонали в круге).

Пусть ( a = b ). Тогда:

[ a^2 + a^2 = 1600 ] [ 2a^2 = 1600 ] [ a^2 = 800 ] [ a = \sqrt{800} ] [ a = 20\sqrt{2} ]

Шаг 4: Проверка

Так как ( a = b ), то прямоугольник имеет стороны ( a = b = 20\sqrt{2} ). Подставим это значение в исходное уравнение:

[ (20\sqrt{2})^2 + (20\sqrt{2})^2 = 1600 ] [ 800 + 800 = 1600 ]

Всё верно.

Вывод

Таким образом, размеры сечения балки, вырезанной из круглого бревна с радиусом 20 единиц, которые дают наибольшую площадь, составляют ( 20\sqrt{2} ) единиц на ( 20\sqrt{2} ) единиц.