3.из круглого бревна вырезают балку с прямоугольным сечением наибольшей площадки. найти размеры сечения...

Для нахождения размеров сечения балки с наибольшей площадью мы можем использовать метод дифференциального исчисления.

Пусть длина балки равна L, ширина сечения - x, а высота сечения - y. Так как сечение балки имеет прямоугольную форму, площадь сечения будет равна S = x*y.

Также, известно, что радиус бревна равен 20, значит диаметр бревна равен 40, а длина балки - это окружность диаметром 40, то есть L = 40π.

Теперь составим уравнение для площади сечения балки: S = x*y

Учитывая, что периметр прямоугольника равен длине окружности бревна: 2x + 2y = 40

Также у нас есть ограничение на длину балки: L = 40π

Теперь можно выразить одну переменную через другую и подставить в уравнение для площади, а затем найти максимум этой функции с помощью производной. Полученные значения x и y будут размерами сечения балки с наибольшей площадью.

Для того чтобы вырезать из круглого бревна балку с прямоугольным сечением наибольшей площади, нам нужно определить размеры этого прямоугольного сечения так, чтобы его площадь была максимальной. Предположим, что радиус сечения бревна равен $R=20$ единиц.

Шаг 1: Определение условий задачи

Бревно имеет форму круга с радиусом $R$. Прямоугольник, который будет вырезан из этого круга, вписан в него, что означает, что его диагональ равна диаметру круга. Диаметр круга равен $2R=40$ единиц.

Шаг 2: Максимизация площади прямоугольника

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Поскольку диагональ прямоугольника является гипотенузой прямоугольного треугольника, где $a$ и $b$ — катеты, то по теореме Пифагора:

$a^2+b^2=(2R{)}^2$ $a^2+b^2={40}^2$ $a^2+b^2=1600$

Шаг 3: Выразим одну из сторон через другую

Для максимизации площади прямоугольника $S=a\times b$, можно воспользоваться тем, что $a$ и $b$ должны быть равны $таккакэтодастмаксимальнуюплощадьдляфиксированнойдиагоналивкруге$.

Пусть $a=b$. Тогда:

$a^2+a^2=1600$ $2a^2=1600$ $a^2=800$ $a=\sqrt{800}$ $a=20\sqrt{2}$

Шаг 4: Проверка

Так как $a=b$, то прямоугольник имеет стороны $a=b=20\sqrt{2}$. Подставим это значение в исходное уравнение:

$(20\sqrt{2}{)}^2+(20\sqrt{2}{)}^2=1600$ $800+800=1600$

Всё верно.

Вывод

Таким образом, размеры сечения балки, вырезанной из круглого бревна с радиусом 20 единиц, которые дают наибольшую площадь, составляют $20\sqrt{2}$ единиц на $20\sqrt{2}$ единиц.