Два игрока играют в следующую игру. Перед ними лежит куча из 6 камней. Игроки берут камни по очереди....

Первый ход выигрывающего игрока должен быть таким, чтобы после любого хода противника у него оставалась выигрышная стратегия.

Построим дерево игры для данной ситуации:

1. Если у игрока, делающего первый ход, есть возможность забрать 1, 2 или 3 камня, то он всегда может оставить противнику кратное 4 количество камней (4, 8, 12 и т.д.). Это позволит ему оставить противнику камни таким образом, что при правильной игре он всегда сможет забрать последний камень и выиграть. Следовательно, игрок, делающий первый ход, выигрывает при безошибочной игре обоих игроков.

Таким образом, игрок, делающий первый ход, всегда имеет выигрышную стратегию, если он начинает игру с оставления противнику кратного 4 количества камней.

При безошибочной игре обоих игроков побеждает игрок, делающий второй ход. Первый ход выигрывающего игрока должен быть таким, чтобы количество камней в куче после его хода было кратно 4. Таким образом, если изначально в куче 6 камней, игрок, делающий первый ход, должен взять 2 камня. Если же изначально в куче 5, 4 или 3 камня, первый ход выигрывающего игрока должен быть таким, чтобы оставалось 1 камень после его хода. Построив дерево игры, можно увидеть, что при правильной стратегии игрок, делающий второй ход, всегда имеет выигрышную позицию.

Для решения задачи о двух игроках, которые по очереди берут камни из кучи, важно понять, как выглядят выигрышные и проигрышные позиции в данной игре. Опишем стратегию и построим дерево игры, чтобы обосновать, кто выигрывает при безошибочной игре обоих игроков.

Шаг 1: Определение выигрышных и проигрышных позиций

1. Проигрышная позиция: Это такая позиция, из которой любой возможный ход приводит к выигрышной позиции для противника.
2. Выигрышная позиция: Это такая позиция, из которой существует хотя бы один ход, приводящий к проигрышной позиции для противника.

Игра начинается с 6 камней. Давайте проанализируем, что произойдет при различных количествах камней в куче.

Проигрышная позиция

• Если в куче 1 камень, то игрок, который должен ходить, проигрывает, потому что он вынужден взять последний камень. Таким образом, 1 камень — проигрышная позиция (P).

Выигрышные позиции

• Если в куче 2, 3 или 4 камня, то игрок, который ходит, может взять 1, 2 или 3 камня и оставить противнику 1 камень. Это означает, что 2, 3 и 4 камня — выигрышные позиции (W).

Проигрышная позиция

• Если в куче 5 камней, то любой ход (взять 1, 2 или 3 камня) оставит противнику выигрышную позицию (4, 3 или 2 камня соответственно). Таким образом, 5 камней — проигрышная позиция (P).

Шаг 2: Анализ начальной позиции

Теперь рассмотрим начальную позицию с 6 камнями:

• Если игрок возьмет 1 камень, останется 5 камней — проигрышная позиция для второго игрока.
• Если игрок возьмет 2 камня, останется 4 камня — выигрышная позиция для второго игрока.
• Если игрок возьмет 3 камня, останется 3 камня — выигрышная позиция для второго игрока.

Таким образом, если первый игрок возьмет 1 камень, то он оставит противнику проигрышную позицию (5 камней). Это означает, что первый игрок может выиграть, если сделает правильный первый ход.

Шаг 3: Дерево игры

Построим дерево игры для позиции с 6 камнями:

6 (начальная позиция)
│
├── 5 (первый игрок взял 1 камень) - проигрышная позиция для второго игрока
│   ├── 4 (второй игрок взял 1 камень) - выигрышная позиция для первого игрока
│   ├── 3 (второй игрок взял 2 камня) - выигрышная позиция для первого игрока
│   └── 2 (второй игрок взял 3 камня) - выигрышная позиция для первого игрока
│
├── 4 (первый игрок взял 2 камня) - выигрышная позиция для второго игрока
│   ├── 3 (второй игрок взял 1 камень) - выигрышная позиция для второго игрока
│   ├── 2 (второй игрок взял 2 камня) - выигрышная позиция для второго игрока
│   └── 1 (второй игрок взял 3 камня) - проигрышная позиция для второго игрока
│
└── 3 (первый игрок взял 3 камня) - выигрышная позиция для второго игрока
    ├── 2 (второй игрок взял 1 камень) - выигрышная позиция для второго игрока
    ├── 1 (второй игрок взял 2 камня) - проигрышная позиция для второго игрока
    └── 0 (второй игрок взял 3 камня) - проигрышная позиция для второго игрока

Вывод

Первый игрок выигрывает при безошибочной игре обоих игроков, если он берет 1 камень в свой первый ход. Это приводит противника к проигрышной позиции с 5 камнями, из которой второй игрок не сможет выиграть при любом ходе.