Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по...

1. 1а) Если S = 1, то Петя может выиграть первым ходом, добавив 2 камня и получив кучу из 3 камней. Таким образом, Петя выигрывает при S = 1. 1б) Если S = 2 или S = 3, то Ваня выигрывает первым ходом, увеличив количество камней в куче в 4 раза и получив кучу из 8 или 12 камней. Таким образом, Ваня выигрывает при S = 2 или S = 3.

2. При S = 4, 5 или 6 Петя может выиграть своим вторым ходом. Например, если S = 4, то Петя добавляет 2 камня и получает кучу из 6 камней. После этого, независимо от хода Вани, Петя может увеличить количество камней в куче в 4 раза и выиграть.

3. При S = 7 или S = 8 Ваня может выиграть своим первым или вторым ходом. Например, если S = 7, то Ваня добавляет 2 камня и получает кучу из 9 камней. После этого, независимо от хода Пети, Ваня может увеличить количество камней в куче в 4 раза и выиграть.

1. 1а) Петя выигрывает первым ходом, если S = 1, 3 или 7. 1б) Ваня выигрывает первым ходом, если S = 2, 4, 5 или 6.

2. S = 8, 15, 31.

3. S = 68, 67.

Для анализа этой игры воспользуемся методом обратного анализа, начиная с условий победы и возвращаясь к возможным исходам.

1. Анализ выигрыша первым ходом:

   1а) Петя выигрывает первым ходом, если он может сразу сделать так, чтобы количество камней стало не менее 69.

   • Если Петя изначально имеет S камней и S + 2 ≥ 69, то он выиграет, добавив 2 камня. Это возможно, если S = 67 или 68.
   • Если S * 4 ≥ 69, то Петя выиграет, умножив количество камней на 4. Это возможно, если S = 17 или выше.

   Следовательно, Петя выигрывает первым ходом при S = 17, 18, ., 68.

   1б) Ваня может выиграть первым ходом, если Петя не может выиграть первым ходом, и Ваня сам может сделать выигрышный ход.

   • Если S = 16, то Петя может увеличить количество камней только до 18 или 64, и тогда Ваня может выиграть следующим ходом (18 + 2 ≥ 69 или 64 * 4 ≥ 69).

2. Три значения S, при которых Петя может выиграть вторым ходом:

   Петя может выиграть своим вторым ходом, если после его первого хода Ваня не может сделать выигрышный ход.

   • Рассмотрим S = 15. Петя может увеличить количество камней до 17 или 60. Если он выберет 17, Ваня не сможет выиграть сразу, потому что 19 и 68 — это не победные для Вани значения. Затем Петя выиграет своим следующим ходом.

   • Аналогично, для S = 14, Петя может увеличить до 16 или 56. Если он выберет 16, Ваня окажется в позиции, где Петя выиграет следующим ходом.

   • Для S = 13, Петя может увеличить до 15 или 52. Если он выберет 15, Ваня окажется в аналогичной ситуации.

3. Два значения S, при которых Ваня выигрывает своим первым или вторым ходом:

   Ваня выигрывает, если после первого хода Пети он может сделать выигрышный ход.

   • Если S = 16, то Петя может сделать 18 или 64. Ваня может выиграть следующим ходом.

   • Если S = 12, то Петя может сделать 14 или 48. Ваня после 14 может увеличить до 16 и выиграть следующим ходом.

Таким образом, анализ игры показывает, как стратегически можно выиграть с различными начальными значениями S.