Исполнитель РОБОТ ходит по клеткам бесконечной вертикальной клетчатой доски, переходя по одной из команд...

Для нахождения наименьшего числа команд в программе, приводящей РОБОТа из начальной точки в конечную, можно определить, что последовательность команд 3322331111444 эквивалентна последовательности команд 32211 $сначаладваразавправо,затемдваразавверх,затемодинразвниз$. Таким образом, наименьшее число команд равно 5.

Чтобы найти количество оптимальных маршрутов, можно воспользоваться формулой сочетаний с повторениями. Для данной задачи у нас есть 5 команд $2командывправо,2командывверх,1командавниз$, которые нужно распределить по 11 шагам. Таким образом, количество оптимальных маршрутов будет равно C$11,2$ C$9,2$ = 55 36 = 1980.

Итак, наименьшее число команд в программе равно 5, а количество оптимальных маршрутов составляет 1980.

Для решения задачи сначала определим эффективное перемещение РОБОТа по каждому из направлений:

1. Исходная последовательность команд: 3322331111444.

2. Разобьем на группы по направлениям:

   • ВПРАВО $3$: 33 и 33 = 6 клеток вправо всего.
   • ВНИЗ $2$: 22 = 2 клетки вниз.
   • ВВЕРХ $1$: 1111 = 4 клетки вверх.
   • ВЛЕВО $4$: 444 = 3 клетки влево.

3. Анализируем чистое перемещение:

   • Вправо: $6-3=3$ клетки $общийсдвигвправопослеучетасдвигавлево$.
   • Вверх: $4-2=2$ клетки $общийсдвигвверхпослеучетасдвигавниз$.

4. Минимальная длина программы, чтобы добраться из начальной точки в конечную:

   • Нужно сделать ровно 3 шага вправо и 2 шага вверх.
   • Таким образом, минимальное количество команд будет $3+2=5$.

5. Количество оптимальных маршрутов:

   • Необходимо найти количество способов выбрать 2 шага вверх из 5 возможных шагов $3шагавправои2шагавверх$.
   • Это классическая задача комбинаторики, где нужно выбрать 2 позиции из 5 для шагов вверх.
   • Количество таких комбинаций можно вычислить через биномиальные коэффициенты: $C(5,2$ = \frac{5!}{2!$5-2$!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10).

Итак, минимальное число команд в программе, чтобы добраться из начальной точки в конечную, равно 5, и количество всех таких оптимальных маршрутов равно 10.