Исполнитель РОБОТ ходит по клеткам бесконечной вертикальной клетчатой доски, переходя по одной из команд...

Для нахождения наименьшего числа команд в программе, приводящей РОБОТа из начальной точки в конечную, можно определить, что последовательность команд 3322331111444 эквивалентна последовательности команд 32211 (сначала два раза вправо, затем два раза вверх, затем один раз вниз). Таким образом, наименьшее число команд равно 5.

Чтобы найти количество оптимальных маршрутов, можно воспользоваться формулой сочетаний с повторениями. Для данной задачи у нас есть 5 команд (2 команды вправо, 2 команды вверх, 1 команда вниз), которые нужно распределить по 11 шагам. Таким образом, количество оптимальных маршрутов будет равно C(11, 2) C(9, 2) = 55 36 = 1980.

Итак, наименьшее число команд в программе равно 5, а количество оптимальных маршрутов составляет 1980.

Для решения задачи сначала определим эффективное перемещение РОБОТа по каждому из направлений:

1. Исходная последовательность команд: 3322331111444.

2. Разобьем на группы по направлениям:

   • ВПРАВО (3): 33 и 33 = 6 клеток вправо всего.
   • ВНИЗ (2): 22 = 2 клетки вниз.
   • ВВЕРХ (1): 1111 = 4 клетки вверх.
   • ВЛЕВО (4): 444 = 3 клетки влево.

3. Анализируем чистое перемещение:

   • Вправо: (6 - 3 = 3) клетки (общий сдвиг вправо после учета сдвига влево).
   • Вверх: (4 - 2 = 2) клетки (общий сдвиг вверх после учета сдвига вниз).

4. Минимальная длина программы, чтобы добраться из начальной точки в конечную:

   • Нужно сделать ровно 3 шага вправо и 2 шага вверх.
   • Таким образом, минимальное количество команд будет (3 + 2 = 5).

5. Количество оптимальных маршрутов:

   • Необходимо найти количество способов выбрать 2 шага вверх из 5 возможных шагов (3 шага вправо и 2 шага вверх).
   • Это классическая задача комбинаторики, где нужно выбрать 2 позиции из 5 для шагов вверх.
   • Количество таких комбинаций можно вычислить через биномиальные коэффициенты: (C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10).

Итак, минимальное число команд в программе, чтобы добраться из начальной точки в конечную, равно 5, и количество всех таких оптимальных маршрутов равно 10.