На доске 10 x 10 стоит 5 ладей, никакие две из которых не бьют друг друга. Сколькими способами на эту...

Для того чтобы добавить еще две ладьи на доску 10 x 10 так, чтобы никакие две ладьи не били друг друга, мы должны учитывать следующее:

• У нас уже есть 5 ладей на доске, которые не бьют друг друга.
• Каждая новая ладья не должна бить ни одну из уже установленных ладей.

Таким образом, первая новая ладья может быть установлена на любой из 95 оставшихся клеток (100 клеток на доске минус 5 занятых ладьями). После этого у нас останется 94 клетки, на которые можно поставить вторую новую ладью.

Таким образом, количество способов добавить еще две ладьи, не бьющие друг друга, на доску 10 x 10 равно 95 * 94 = 8930 способов.

Для решения этой задачи мы должны учитывать, что ладьи бьют по горизонталям и вертикалям, на которых они стоят. Значит, чтобы добавленные ладьи не били уже стоящих и не били друг друга, они должны находиться на пересечении свободных строк и столбцов.

Итак, давайте разберем это пошагово.

1. Определяем свободные строки и столбцы: У нас есть 10 строк и 10 столбцов. Поскольку уже занято 5 ладьями, остается 5 свободных строк и 5 свободных столбцов.

2. Размещение двух новых ладей:

   • Мы должны выбрать 2 строки из 5 оставшихся: количество способов сделать это равно ({5 \choose 2}).
   • Аналогично, мы должны выбрать 2 столбца из 5 оставшихся: количество способов сделать это также равно ({5 \choose 2}).

3. Вычисление количества способов выбора строк и столбцов: [ {5 \choose 2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 ] То есть, 10 способов выбрать 2 строки из 5 и 10 способов выбрать 2 столбца из 5.

4. Комбинирование строк и столбцов:

   • После того как мы выбрали 2 строки и 2 столбца, мы можем разместить 2 ладьи на этих пересечениях.
   • У нас есть 2 строки и 2 столбца, и мы должны разместить 2 ладьи таким образом, чтобы они не били друг друга. Это означает, что каждая ладья должна стоять в своей уникальной строке и столбце.
   • Всего будет 2! способов разместить 2 ладьи в 2 оставшихся строках и столбцах.

5. Общее количество способов: [ \text{Общее количество способов} = {5 \choose 2} \times {5 \choose 2} \times 2! ] Подставляем вычисленные значения: [ \text{Общее количество способов} = 10 \times 10 \times 2 = 200 ]

Таким образом, на доску 10x10 можно добавить еще две ладьи так, чтобы никакие две ладьи не били друг друга, 200 различными способами.