Напряжение на контактах принимает значения от 0 до 5 вольт. Сколько битов нужно использовать для дискретизации такого сигнала, чтобы ошибка составляла не более 3%? При дискретизации измеренное напряжение округляется до ближайшего меньшего значения, которое точно представляется двоичным кодом.
Для того чтобы ошибка составляла не более 3%, необходимо использовать достаточное количество битов для точной дискретизации сигнала. Для дискретизации сигнала с диапазоном значений от 0 до 5 вольт и ошибкой не более 3%, можно воспользоваться формулой:
2^n > 5 / (0.03 * 5)
где n - количество битов для дискретизации.
Решая данное уравнение, получаем:
2^n > 5 / 0.15 2^n > 33.3333 n > log2(33.3333) n > 5
Итак, чтобы обеспечить точность дискретизации сигнала с ошибкой не более 3%, необходимо использовать как минимум 6 битов.
Для решения данной задачи необходимо определить количество битов, которые обеспечат дискретизацию сигнала с точностью, при которой ошибка не превышает 3%.
Определение диапазона значений: Напряжение на контактах принимает значения от 0 до 5 вольт.
Определение допустимой ошибки: Ошибка должна составлять не более 3%. Это означает, что максимальная величина ошибки ( E ) может быть выражена как: [ E = 0.03 \times 5 = 0.15 \text{ В} ]
Определение шага квантования: Для обеспечения ошибки не более 0.15 В, шаг квантования (разность между двумя соседними дискретными уровнями напряжения) должен быть меньше или равен 0.15 В.
Количество уровней квантования: Пусть ( N ) — количество уровней квантования. Тогда шаг квантования ( \Delta U ) равен: [ \Delta U = \frac{5}{N} ] Чтобы ошибка не превышала 0.15 В, нужно: [ \frac{5}{N} \leq 0.15 ] Решим данное неравенство: [ N \geq \frac{5}{0.15} \approx 33.33 ] Так как ( N ) должно быть целым числом, округляем вверх: [ N \geq 34 ]
Количество битов: Количество уровней квантования ( N ) связано с числом битов ( b ) следующим образом: [ N = 2^b ] Отсюда: [ 2^b \geq 34 ] Логарифмируем обе части неравенства: [ b \geq \log_2{34} ] Приблизительно: [ \log_2{34} \approx 5.09 ] Поскольку ( b ) должно быть целым числом, округляем вверх: [ b \geq 6 ]
Таким образом, для дискретизации сигнала с напряжением от 0 до 5 вольт с ошибкой не более 3%, необходимо использовать не менее 6 битов.
