Сумма двух первых чисел заданного четырехзначного числа равна сумме двух его последних цифр

Четырёхзначное число обозначим как ( abcd ), где ( a, b, c, d ) - его цифры. Каждая из этих цифр представляет собой число от 0 до 9. Число ( abcd ) можно записать в виде:

[ abcd = 1000a + 100b + 10c + d. ]

Условие задачи гласит, что сумма двух первых цифр числа (то есть ( a + b )) равна сумме двух его последних цифр (то есть ( c + d )). Запишем это условие в виде уравнения:

[ a + b = c + d. ]

Теперь разберём задачу подробнее.

1. Свойства четырёхзначного числа

Для числа ( abcd ) выполняются следующие ограничения:

• ( a \neq 0 ), так как число четырёхзначное, а старшая цифра ( a ) не может быть равна нулю.
• Все цифры ( a, b, c, d ) принадлежат диапазону от 0 до 9.

2. Анализ уравнения ( a + b = c + d )

Уравнение ( a + b = c + d ) позволяет нам связать суммы двух пар цифр. Это условие ограничивает возможные комбинации цифр и приводит к следующим наблюдениям:

Пример: фиксируем сумму

Пусть сумма ( S = a + b = c + d ). Значение ( S ) может принимать значения от 1 до 18:

• Минимальная сумма ( S = 1 ), когда ( a = 1, b = 0 ) (минимальное четырёхзначное число с ( a \neq 0 )).
• Максимальная сумма ( S = 18 ), когда ( a = b = 9 ) (максимальная сумма двух цифр).

Поиск подходящих комбинаций

Для каждого значения ( S ), соответствующего ( a + b ), подбираются значения ( c ) и ( d ), удовлетворяющие ( c + d = S ). Например:

• Если ( S = 5 ), возможные пары ( (a, b) ) таковы: ( (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1), (5, 0) ).
• Для каждой пары ( (a, b) ) подбираются пары ( (c, d) ), такие как ( (0, 5), (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1), (5, 0) ).

3. Пример решения

Рассмотрим конкретный пример: ( S = 10 ). Тогда ( a + b = 10 ) и ( c + d = 10 ). Возможные комбинации цифр:

• ( (a, b) ): ( (1, 9), (2, 8), (3, 7), (4, 6), (5, 5), (6, 4), (7, 3), (8, 2), (9, 1) ).
• ( (c, d) ): аналогично ( (1, 9), (2, 8), (3, 7), (4, 6), (5, 5), (6, 4), (7, 3), (8, 2), (9, 1) ).

Одно из возможных чисел: ( abcd = 2973 ), где ( a = 2, b = 9, c = 7, d = 3 ). Проверка: [ a + b = 2 + 9 = 11, \quad c + d = 7 + 3 = 11. ] Условие выполняется.

4. Общий подход

Для нахождения всех четырёхзначных чисел, удовлетворяющих условию ( a + b = c + d ), можно использовать следующий алгоритм:

1. Перебрать все возможные значения суммы ( S ) от 1 до 18.
2. Для каждого значения ( S ) определить все пары ( (a, b) ) и ( (c, d) ), такие что их сумма равна ( S ).
3. Составить числа ( abcd ) из каждой комбинации ( (a, b) ) и ( (c, d) ).
4. Проверить условие задачи.

5. Итог

Четырёхзначное число ( abcd ) удовлетворяет условию ( a + b = c + d ), если сумма первых двух цифр равна сумме последних двух цифр. Решение сводится к перебору всех возможных пар цифр и выбору тех, которые удовлетворяют данному уравнению.

Давайте разберем задачу более подробно. Мы имеем четырехзначное число, которое можно обозначить как ( abcd ), где ( a ), ( b ), ( c ) и ( d ) — это его цифры, и ( a ) не может быть равной нулю, так как это четырехзначное число.

По условию задачи, сумма двух первых цифр равна сумме двух последних цифр. Это можно записать в виде уравнения:

[ a + b = c + d ]

Теперь давайте рассмотрим каждую из частей этого уравнения более подробно.

1. Пределы значений:

   • Цифры ( a ), ( b ), ( c ) и ( d ) могут принимать значения от 0 до 9, но для ( a ) (первой цифры) это значение должно быть от 1 до 9, потому что число четырехзначное.

2. Сумма цифр:

   • Значения ( a + b ) могут варьироваться от 1 (если ( a = 1 ) и ( b = 0 )) до 18 (если ( a = 9 ) и ( b = 9 )).
   • Аналогично, ( c + d ) также может варьироваться от 0 (если ( c = 0 ) и ( d = 0 )) до 18 (если ( c = 9 ) и ( d = 9 )).

3. Формирование чисел:

   • Чтобы найти все четырехзначные числа, которые удовлетворяют этому условию, можно использовать перебор. Мы можем пройти через все возможные значения ( a ), ( b ), ( c ), и ( d ), и для каждой комбинации проверить равенство ( a + b = c + d ).

4. Пример:

   • Рассмотрим число 1234:
     • ( a = 1 ), ( b = 2 ), ( c = 3 ), ( d = 4 )
     • Сумма первых двух цифр: ( 1 + 2 = 3 )
     • Сумма последних двух цифр: ( 3 + 4 = 7 )
     • Здесь условие не выполняется.
   • Попробуем 1122:
     • ( a = 1 ), ( b = 1 ), ( c = 2 ), ( d = 2 )
     • Сумма первых двух цифр: ( 1 + 1 = 2 )
     • Сумма последних двух цифр: ( 2 + 2 = 4 )
     • Здесь тоже условие не выполняется.

5. Обобщение:

   • Для нахождения всех подходящих четырехзначных чисел можно создать программу или использовать ручной перебор, чтобы проверить каждое число от 1000 до 9999. Если программа или перебор найдут совпадения, то они будут являться решениями данной задачи.

Таким образом, задача сводится к нахождению всех четырехзначных чисел, для которых выполняется условие равенства суммы первых двух и последних двух цифр.