Световое табло состоит из цветных индикаторов. Каждый индикатор может окрашиваться в четыре цвета: зелёный,...

Для решения задачи о минимальном количестве лампочек на световом табло, которое может передавать 300 различных сигналов, необходимо рассмотреть, как именно лампочки могут комбинироваться и какие цвета они могут принимать.

Каждая лампочка может светиться одним из четырех цветов: зелёным, черным, желтым или красным. Таким образом, количество возможных состояний (комбинаций цветов) для n лампочек можно выразить формулой:

[ C(n) = 4^n ]

где ( C(n) ) — количество различных сигналов, которые могут быть переданы с помощью n лампочек.

Для того чтобы передать 300 различных сигналов, нужно, чтобы количество состояний, которое могут создать лампочки, было не меньше 300:

[ 4^n \geq 300 ]

Теперь давайте найдем минимальное значение n, которое удовлетворяет этому неравенству.

1. Для n = 1: [ 4^1 = 4 ] (недостаточно)

2. Для n = 2: [ 4^2 = 16 ] (недостаточно)

3. Для n = 3: [ 4^3 = 64 ] (недостаточно)

4. Для n = 4: [ 4^4 = 256 ] (недостаточно)

5. Для n = 5: [ 4^5 = 1024 ] (достаточно)

Таким образом, наименьшее значение n, при котором 4^n будет больше или равно 300, равно 5. Это означает, что для передачи 300 различных сигналов на световом табло необходимо как минимум 5 лампочек.

Итак, ответ на вопрос: Минимальное количество лампочек на табло должно составлять 5.

Для решения задачи воспользуемся основами комбинаторики и степенной зависимостью количества состояний.

Условие задачи:

Каждый индикатор может окрашиваться в 4 цвета: зелёный, чёрный, жёлтый и красный. Это означает, что каждый индикатор имеет 4 различных состояния. Табло должно передавать 300 различных сигналов, то есть количество возможных комбинаций цветов индикаторов должно быть не меньше 300.

Обозначим количество индикаторов на табло как ( n ). Если на табло ( n ) индикаторов, то общее число возможных комбинаций цветов этих индикаторов равно ( 4^n ) (так как каждый индикатор имеет 4 состояния, и состояния индикаторов комбинируются независимо).

Наша цель — найти минимальное количество ( n ), при котором выполняется неравенство:

[ 4^n \geq 300 ]

Решение:

1. Выразим ( n ) через логарифм: [ n \geq \log_4 300 ] Переходя к натуральным логарифмам, воспользуемся формулой ( \log_a b = \frac{\ln b}{\ln a} ): [ n \geq \frac{\ln 300}{\ln 4} ]

2. Найдём значения логарифмов: [ \ln 300 \approx 5.7038, \quad \ln 4 \approx 1.3863 ] Подставим: [ n \geq \frac{5.7038}{1.3863} \approx 4.11 ]

3. Поскольку ( n ) — это количество индикаторов, оно должно быть целым числом. Округляем 4.11 до ближайшего большего целого числа: [ n = 5 ]

4. Проверка:

   • Если ( n = 5 ), то общее число сигналов: [ 4^5 = 1024 ] Это больше 300, следовательно, условие выполнено.
   • Если ( n = 4 ), то общее число сигналов: [ 4^4 = 256 ] Это меньше 300, следовательно, 4 индикатора недостаточно.

Ответ:

Наименьшее количество индикаторов, необходимое для передачи 300 различных сигналов, равно 5.