Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 15, запись которых...

В десятичной системе числа, не превосходящие 15, которые в системе счисления с основанием 3 заканчиваются на 11: 4, 13.

Чтобы найти десятичные числа, не превосходящие 15, запись которых в системе счисления с основанием 3 заканчивается на 11, сначала определим, как выглядит число в троичной системе счисления.

Числа, оканчивающиеся на 11 в троичной системе, могут быть представлены в следующем виде:

[ n = a \cdot 3^2 + 1 \cdot 3^1 + 1 \cdot 3^0 ]

где ( a ) — это целое неотрицательное число (коэффициент при ( 3^2 )). Таким образом, число имеет вид:

[ n = a \cdot 9 + 3 + 1 = 9a + 4 ]

Теперь нам нужно найти все такие значения ( n ), которые не превосходят 15.

Рассмотрим возможные значения ( a ):

1. Если ( a = 0 ): [ n = 9 \cdot 0 + 4 = 4 ]

2. Если ( a = 1 ): [ n = 9 \cdot 1 + 4 = 13 ]

3. Если ( a = 2 ): [ n = 9 \cdot 2 + 4 = 22 ] (это число больше 15, не подходит)

Таким образом, единственные подходящие значения ( n ) — это 4 и 13.

Теперь перечислим полученные числа в порядке возрастания:

Ответ: 4, 13

Для ответа на вопрос давайте разберем задачу поэтапно.

1. Понять, что требуется

Мы ищем десятичные числа, не превосходящие 15, которые в системе счисления с основанием 3 (троичной системе) оканчиваются на "11". Числа должны быть написаны в порядке возрастания.

2. Что значит "оканчиваются на 11" в троичной системе?

Число в троичной системе заканчивается на "11", если его последние две цифры в этой системе равны "11". Это аналогично тому, как в десятичной системе число может заканчиваться, например, на "25". В троичной системе цифры могут быть только 0, 1 или 2.

Пример:

• 11 в троичной системе — это ( 1 \cdot 3^1 + 1 \cdot 3^0 = 3 + 1 = 4 ) в десятичной системе.

Значит, мы ищем все десятичные числа, которые в троичной записи имеют вид ( .11 ), где "." — это любые цифры в троичной системе.

3. Общее условие

Число в троичной системе оканчивается на "11", если оно делится на 9 с остатком 4. Это связано с тем, что "11" в троичной системе эквивалентно ( 1 \cdot 3^1 + 1 \cdot 3^0 = 4 ) в десятичной системе.

4. Найдем все числа в пределах от 0 до 15, которые подходят

Нам нужно найти числа, которые дают остаток 4 при делении на 9. Это можно записать как: [ x \mod 9 = 4 ]

Проверим все числа от 0 до 15:

• ( 0 \mod 9 = 0 ) (не подходит)
• ( 1 \mod 9 = 1 ) (не подходит)
• ( 2 \mod 9 = 2 ) (не подходит)
• ( 3 \mod 9 = 3 ) (не подходит)
• ( 4 \mod 9 = 4 ) (подходит)
• ( 5 \mod 9 = 5 ) (не подходит)
• ( 6 \mod 9 = 6 ) (не подходит)
• ( 7 \mod 9 = 7 ) (не подходит)
• ( 8 \mod 9 = 8 ) (не подходит)
• ( 9 \mod 9 = 0 ) (не подходит)
• ( 10 \mod 9 = 1 ) (не подходит)
• ( 11 \mod 9 = 2 ) (не подходит)
• ( 12 \mod 9 = 3 ) (не подходит)
• ( 13 \mod 9 = 4 ) (подходит)
• ( 14 \mod 9 = 5 ) (не подходит)
• ( 15 \mod 9 = 6 ) (не подходит)

Итак, подходящие числа: 4 и 13.

5. Проверим их троичную запись

• 4 в десятичной системе: ( 4 \div 3 = 1 ) (остаток 1), троичная запись: ( 11 ) (оканчивается на 11, подходит).
• 13 в десятичной системе: ( 13 \div 3 = 4 ) (остаток 1), троичная запись: ( 111 ) (оканчивается на 11, подходит).

6. Ответ

Итак, все десятичные числа, не превосходящие 15, которые в троичной записи оканчиваются на "11", это:

4, 13.