Укажите наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа 70 трехзначна. подробнее, пожалуйста

Чтобы определить наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа 70 является трехзначной, нужно учесть, что в этой системе счисления число 70 должно быть больше или равно основанию в квадрате (то есть (b^2)), но меньше (b^3).

1. Запишем неравенства:

   • (b^2 \leq 70 < b^3)

2. Найдем наименьшее основание (b):

   • Для (b = 8):
     • (8^2 = 64) (входит в диапазон)
     • (8^3 = 512) (также входит)
   • Для (b = 7):
     • (7^2 = 49) (входит в диапазон)
     • (7^3 = 343) (также входит)
   • Для (b = 6):
     • (6^2 = 36) (входит в диапазон)
     • (6^3 = 216) (также входит)
   • Для (b = 5):
     • (5^2 = 25) (входит в диапазон)
     • (5^3 = 125) (также входит)
   • Для (b = 4):
     • (4^2 = 16) (входит в диапазон)
     • (4^3 = 64) (не входит, так как 70 не меньше 64)

Таким образом, наименьшее основание, в котором число 70 является трехзначным, равно 8.

Для решения данного вопроса необходимо определить наименьшее основание системы счисления, в котором число ( 70 ) будет записываться как трехзначное. Разберем это подробно.

1. Основы систем счисления

В системе счисления с основанием ( k ) любое число ( N ) представляется в виде суммы степеней основания:

[ N = an \cdot k^n + a{n-1} \cdot k^{n-1} + \ldots + a_1 \cdot k^1 + a_0 \cdot k^0, ]

где ( a_i ) — цифры числа в основании ( k ), лежащие в диапазоне от ( 0 ) до ( k-1 ).

Если число ( N ) трехзначное в системе счисления с основанием ( k ), это означает, что ( N ) лежит в диапазоне:

[ k^2 \leq N < k^3. ]

Здесь:

• ( k^2 ) — минимальное значение, которое может принимать трехзначное число в этой системе счисления.
• ( k^3 ) — минимальное значение, которое уже становится четырехзначным.

2. Условие задачи

Число ( 70 ) должно быть трехзначным, то есть:

[ k^2 \leq 70 < k^3. ]

Наша задача — найти наименьшее основание ( k ), удовлетворяющее этому неравенству.

3. Решение

Рассмотрим каждый шаг подробнее:

3.1. Выражение для ( k^2 \leq 70 )

Чтобы число ( 70 ) было хотя бы трехзначным, основание ( k ) должно быть таким, чтобы ( k^2 \leq 70 ). Это означает, что:

[ k^2 \leq 70 \quad \implies \quad k \leq \sqrt{70}. ]

Приблизительно:

[ \sqrt{70} \approx 8.37, ]

значит, ( k ) может быть равным ( 2, 3, 4, 5, 6, 7, ) или ( 8 ).

3.2. Выражение для ( 70 < k^3 )

Чтобы число ( 70 ) оставалось трехзначным, оно не должно превышать ( k^3 ). То есть:

[ 70 < k^3 \quad \implies \quad k > \sqrt[3]{70}. ]

Приблизительно:

[ \sqrt[3]{70} \approx 4.12, ]

значит, ( k ) должно быть как минимум равным ( 5 ).

3.3. Итоговый диапазон для ( k )

Теперь мы объединяем оба условия:

• ( k \leq 8 ),
• ( k \geq 5 ).

Следовательно, возможные значения ( k ): ( 5, 6, 7, 8 ).

3.4. Наименьшее ( k ), делающее ( 70 ) трехзначным

Проверим, при каком наименьшем основании запись числа ( 70 ) действительно станет трехзначной.

1. Для ( k = 5 ):

   • ( k^2 = 25 ), ( k^3 = 125 ),
   • ( 25 \leq 70 < 125 ). Значит, в системе счисления с основанием ( 5 ) число ( 70 ) будет трехзначным.

2. Для ( k = 4 ):

   • ( k^2 = 16 ), ( k^3 = 64 ),
   • ( 70 \not< 64 ). Число ( 70 ) не будет трехзначным в системе с основанием ( 4 ).

Таким образом, наименьшее основание ( k ), при котором число ( 70 ) становится трехзначным, — это 5.

4. Ответ

Наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа ( 70 ) трехзначна, равно 5.

Чтобы определить наименьшее основание системы счисления, в которой число 70 будет записываться как трехзначное, необходимо понять, как числа представлены в различных системах счисления.

В системе счисления с основанием ( b ), число ( n ) будет трехзначным, если оно удовлетворяет следующему неравенству:

[ b^2 \leq n < b^3 ]

Где:

• ( b^2 ) — это минимальное число, которое может быть представлено в виде трехзначного числа в системе счисления с основанием ( b ) (это число 100 в данной системе),
• ( b^3 ) — это минимальное число, которое уже будет четырехзначным (это число 1000 в данной системе).

В нашем случае, ( n = 70 ). Подставим это значение в неравенство:

[ b^2 \leq 70 < b^3 ]

Разделим это неравенство на два отдельных:

1. ( b^2 \leq 70 )
2. ( 70 < b^3 )

Теперь решим первое неравенство:

[ b \leq \sqrt{70} \approx 8.37 ]

Таким образом, максимальное целое основание ( b ) из первого неравенства будет ( 8 ).

Теперь решим второе неравенство:

[ b > \sqrt[3]{70} \approx 4.12 ]

Таким образом, минимальное целое основание ( b ) из второго неравенства будет ( 5 ).

Теперь нам нужно найти целое значение ( b ), которое удовлетворяет обоим неравенствам:

[ 5 < b \leq 8 ]

Это означает, что возможные значения для основания ( b ) — это 6, 7 и 8. Однако, чтобы определить наименьшее основание, нас интересует ( b = 6 ).

Таким образом, наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа 70 будет трехзначной, равно 6.

Проверка:

• В системе счисления с основанием 6:

  • ( 6^2 = 36 ) и ( 6^3 = 216 ).
  • Действительно, ( 36 \leq 70 < 216 ).
  • Запись числа 70 в системе счисления с основанием 6: ( 70_{10} = 1 \cdot 6^2 + 3 \cdot 6^1 + 2 \cdot 6^0 = 132_6 ), что является трехзначным числом.

• В системе счисления с основанием 5:

  • ( 5^2 = 25 ) и ( 5^3 = 125 ).
  • ( 25 \leq 70 < 125 ), но запись числа 70 в системе счисления с основанием 5: ( 70_{10} = 2 \cdot 5^2 + 3 \cdot 5^1 + 0 \cdot 5^0 = 230_5 ), что также является трехзначным числом.

Следовательно, основание 5 также подходит, но оно меньше, чем 6. Однако, наименьшее основание, соответствующее условию о трехзначном числе, — это 6.