Укажите основание позиционной системы счисления X, в которой будет справедливо следующее равенство:...

Давайте разберемся с данным уравнением и найдем основание позиционной системы счисления ( X ), при котором оно будет верным:

Уравнение: [ 13_X + 31_X = 110_X ]

Для начала, преобразуем каждое из чисел из системы с основанием ( X ) в десятичную систему (основание 10).

1. Число ( 13_X ) в десятичной системе:

   ( 13_X ) означает ( 1 \times X + 3 ).

2. Число ( 31_X ) в десятичной системе:

   ( 31_X ) означает ( 3 \times X + 1 ).

3. Число ( 110_X ) в десятичной системе:

   ( 110_X ) означает ( 1 \times X^2 + 1 \times X + 0 ).

Теперь подставим эти выражения в уравнение:

[ (1 \times X + 3) + (3 \times X + 1) = 1 \times X^2 + 1 \times X + 0 ]

Упростим левую часть уравнения:

[ X + 3 + 3X + 1 = 4X + 4 ]

Теперь у нас следующее уравнение:

[ 4X + 4 = X^2 + X ]

Перенесем все члены в одну сторону уравнения:

[ X^2 + X - 4X - 4 = 0 ]

Упростим его:

[ X^2 - 3X - 4 = 0 ]

Решим квадратное уравнение ( X^2 - 3X - 4 = 0 ) с использованием дискриминанта:

Дискриминант (( D )) для квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ) вычисляется как:

[ D = b^2 - 4ac ]

Для нашего уравнения:

[ a = 1, \, b = -3, \, c = -4 ]

[ D = (-3)^2 - 4 \times 1 \times (-4) = 9 + 16 = 25 ]

Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их:

[ X_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ]

[ X_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} ]

[ X_{1,2} = \frac{3 \pm 5}{2} ]

Получаем два корня:

[ X_1 = \frac{3 + 5}{2} = 4 ]

[ X_2 = \frac{3 - 5}{2} = -1 ]

Так как основание системы счисления должно быть положительным числом и больше 1, единственно возможное значение для основания ( X ) — это 4.

Таким образом, основание позиционной системы, при котором данное равенство верно, равно 4.

Основание позиционной системы счисления X равно 5.

Для данного равенства 13X + 31X = 110X основание позиционной системы счисления X должно быть равно 4.

Объяснение: В позиционной системе счисления основание определяет количество разрядов (цифр), которые могут быть использованы для представления чисел. В данном случае, равенство 13X + 31X = 110X можно переписать в десятичной системе как 4 + 12 = 40.

Поэтому, если основание позиционной системы счисления X равно 4, то равенство 13X + 31X = 110X будет верным.