Упростите логические выражения : a) X & Y v (X & Y) v Z б) (A v B & C) v (A v B & не C)v A v не B
Упростите логические выражения : a) X & Y v (X & Y) v Z б) (A v B & C) v (A v B & не C)v A v не B
Упрощение логических выражений — это процесс минимизации выражений для уменьшения их сложности и улучшения эффективности вычислений. Рассмотрим каждое выражение по отдельности и упростим его.
Объединим одинаковые члены: [ X \& Y \vee (X \& Y) \vee Z ]
Заметим, что (X \& Y) повторяется дважды. По закону идемпотентности логики (A ∨ A = A), можно упростить: [ X \& Y \vee Z ]
Таким образом, выражение упрощается до: [ X \& Y \vee Z ]
Преобразуем части выражения, используя дистрибутивность и ассоциативность логики: [ (A \vee (B \& C)) \vee (A \vee (B \& \neg C)) \vee A \vee \neg B ]
Объединим части, содержащие A: [ A \vee (A \vee (B \& C)) \vee (A \vee (B \& \neg C)) \vee \neg B ]
По закону идемпотентности (A ∨ A = A), можно упростить: [ A \vee (B \& C) \vee (B \& \neg C) \vee \neg B ]
Упростим выражение ( (B \& C) \vee (B \& \neg C) ): По закону распределения логики: [ B \& (C \vee \neg C) ]
(C \vee \neg C) всегда истинно (закон исключенного третьего), поэтому: [ B \& \text{true} = B ]
Следовательно, выражение упрощается до: [ A \vee B \vee \neg B ]
(B \vee \neg B) всегда истинно, поэтому выражение упрощается до: [ A \vee \text{true} ]
[ \text{true} ]
Таким образом, выражение упрощается до: [ \text{true} ]
Итак, итоговые упрощенные выражения: a) (X \& Y \vee Z) б) (\text{true})
a) Для упрощения логического выражения X & Y v (X & Y) v Z, сначала упростим выражение X & Y. В данном случае, X & Y в любом случае будет равно X & Y. Затем объединим это с остальной частью выражения, получив X & Y v Z.
b) Для упрощения логического выражения (A v B & C) v (A v B & не C) v A v не B, сначала упростим выражение A v B & C. Затем упростим выражение A v B & не C. После этого объединим оба упрощенных выражения и добавим A v не B. Получим окончательный результат упрощенного логического выражения.
а) X & Y v Z б) A v B
