В магазине продаются гелевые ручки 5 видов. Сколькими способами можно купить 20 ручек.

Для решения данной задачи можно воспользоваться методом комбинаторики. У нас есть 5 видов гелевых ручек, поэтому для каждого вида ручки у нас есть 20 вариантов выбора (от 0 до 20 штук).

Таким образом, общее количество способов купить 20 ручек будет равно сумме всех комбинаций количества ручек каждого вида. Для этого мы можем воспользоваться формулой сочетаний с повторениями:

C(n + k - 1, k) = C(20 + 5 - 1, 5) = C(24, 5) = 42 504 способа.

Таким образом, можно купить 20 гелевых ручек 5 видов по 42 504 способа.

Для решения этой задачи можно использовать комбинаторный метод, известный как "задача о разбиении целого числа" или "метод звезд и полос". В данной задаче нужно определить количество способов распределения 20 ручек среди 5 различных видов.

Предположим, что у нас есть 5 видов гелевых ручек, и мы обозначим количество купленных ручек каждого вида как ( x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 ). Нам нужно найти количество решений для уравнения:

[ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 20 ]

где ( x_i ) — неотрицательные целые числа, то есть ( x_i \geq 0 ).

Метод "звезд и полос" позволяет преобразовать задачу о распределении целого числа в задачу о размещении разделителей. Представим наши 20 ручек как звёздочки. Чтобы разделить эти звёздочки на группы, соответствующие каждому виду ручек, нам потребуется 4 разделителя (полоски).

Таким образом, мы размещаем 4 полоски среди 20 звёздочек. Общее количество символов (звёздочек и полосок) будет равно ( 20 + 4 = 24 ).

Количество способов разместить 4 полоски среди 24 символов (где остальные — это звёздочки) можно найти с помощью биномиальных коэффициентов, выражаемых как "число сочетаний из ( n ) по ( k )", что обозначается как ( C(n, k) ) или ( \binom{n}{k} ).

В нашем случае, это будет:

[ \binom{24}{4} = \frac{24!}{4!(24 - 4)!} = \frac{24 \times 23 \times 22 \times 21}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 10 626 ]

Следовательно, существует 10 626 различных способов купить 20 гелевых ручек из 5 различных видов.