В марафоне участвуют 300 атлетов. Специальное устройство регистрирует прохождение каждым из участников промежуточного финиша, записывая его номер с использованием минимально возможного количества бит, одинакового для каждого спортсмена. Каков информационный объем сообщения, записанного устройством, после того как промежуточный финиш прошли 160 спортсменов?
Для того чтобы регистрировать прохождение каждого из 300 атлетов, используется кодирование номеров спортсменов с использованием минимально возможного количества бит. Если устройство использует кодировку, которая позволяет закодировать 300 уникальных значений с использованием минимального количества бит, то это означает, что количество бит, необходимых для кодирования одного номера спортсмена, равно log2(300) ≈ 8.22 бит.
Когда промежуточный финиш прошли 160 спортсменов, устройство будет регистрировать их номера, используя 8.22 бит на каждого. Таким образом, информационный объем сообщения, записанного устройством после прохождения 160 спортсменов, будет равен 160 * 8.22 = 1315.2 бит. Однако, так как информация обычно записывается в целых битах, округляем эту цифру до 1316 бит.
Для решения задачи нужно определить, сколько информации требуется для записи номеров атлетов, прошедших промежуточный финиш.
Определение минимального количества бит для записи номера спортсмена: Количество бит для представления номера спортсмена зависит от общего числа спортсменов. В данном случае у нас 300 атлетов. Для определения минимального количества бит, необходимых для представления чисел от 1 до 300, используем формулу: [ n \geq \log_2 N ] где ( N ) — максимальное число (300), а ( n ) — количество бит.
Рассчитаем: [ \log_2 300 \approx 8.23 ] Поскольку количество бит должно быть целым числом, округляем до ближайшего большего целого числа. Это значит, что для записи номера атлета потребуется 9 бит.
Определение информационного объема для 160 спортсменов: Теперь, зная, что для представления номера одного спортсмена требуется 9 бит, можно рассчитать общий объем информации для 160 спортсменов.
Объем информации можно найти, умножив количество бит на количество спортсменов: [ 9 \text{ бит} \times 160 \text{ спортсменов} = 1440 \text{ бит} ]
Для удобства переведем бит в более привычные единицы, например, в байты. В одном байте 8 бит: [ 1440 \text{ бит} / 8 \text{ бит/байт} = 180 \text{ байт} ]
Таким образом, информационный объем сообщения, записанного устройством, после того как промежуточный финиш прошли 160 спортсменов, составляет 1440 бит или 180 байт.
Для записи номера 300 атлетов потребуется 9 бит информации. После прохождения промежуточного финиша 160 спортсменов, информационный объем сообщения составит 9 * 160 = 144 бит.
